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Sóstenes Lins
Galeria de UNIVS e CASTS
Em 1989 descobri um fato curioso que ainda hoje aguarda uma prova matemática: ao simplificar gems de 3-variedades, constatei que, chegando aos atratores dos 3D-universos, as bolas topológicas correspondentes às 3D-faces de gems têm uma decomposição celular em que as 2D-faces são polígonos regulares pares mergulhados isometricamente no R^3. As faces podem aparecer encurvadas e este fato é, original, não tendo sido mencionado nem estudado antes na literatura. Em consequência a combinatória da gem induz uma verdadeira escultura matemática que batizei de CAST.
Estes mergulhos possuem aspectos estéticos agradáveis e são obtidos diretamente da topologia de seu 1-esqueleto. Cada uma delas produz uma surpresa no sentido de que antes de produzir o cast não temos idéia do que irá surgir. UNIV é uma abreviação para atratores de 3D-universos.
Um emparelhamento adequado dos vértices do CAST é tudo que é necessário para recuperar o 3D-universo. Usamos varões de metal pelo interior do cast para efetuar este emparelhamento, surgindo assim o UNIV.
Detalhes da Exposição de UNIVS e CASTS que inicia em 29 de outubro de 2013.
Reportagem no Jornal Do Commercio de 30 de outubro de 2013 (Agradeço a SOJr).
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Apresentação das Gemcasts na Reunião da SBPC 2013
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Apresentação das Gemcasts na Reunião da SBPC 2013
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SBPC 2013
Apresentação de alguns univs na 65a Reunião anual da SBPC, de 21 a 26 de Julho de 2013. O univ ao lado é o primeiro (na ordem lexicográfica, pois cada univ tem um código que é uma sequência de números) com 30 vértices: r(30,1,0).
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S1 x T2
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S1 x T2
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Univ que parece ser o superatrator para S1xT2.
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R30,1
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R30,1
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UNIv de r(28,19,0) que
é um superatrator e que não é fortemente resolúvel, desprovando uma conjectura da tese de Ricardo Machado, meu ex-aluno de doutorado. Este UNIV será em breve reproduzido em aço inox polido. A gem associada é a primeira com profundidade maior que 1. Não se conhece apresentação por "Elo Emoldurado" do 3D-universo desta gem.
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Strange 3-Manifold
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Strange 3-Manifold
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Este belíssimo UNIV de 48 vértices induz um "Strange 3-manifold" associado mas não igual ao fibrado trivial sobre a superfície de genus 2.
Na parede, as 4 tribolas da Esfera de Poincaré.
induzido pelo UNIV r(24,2,0). Este UNIV é o superatrator para o 3-universo que Poincaré descobriu em 1904. Poincaré, Francês, foi um dos mais maiores matemáticos de todos os tempos. Descobri este univ em 1989. Na minha mão um CAST de r(28,19,0) da primeira gem não resolúvel, com profundidade 2. Não se conhece os ELOs EMOLDURADOs associados ao 3D-universo induzidos por r(28,19,0).
Os primeiros 11 UNIVs (similares a DNA de 3-universos)
O UNIV mais simples de todos, r(8,1,0), induzindo o universo denominado espaço projetivo é obtido pela identificação de todos os pares de pontos antípodas numa bola tridimensional. O emparelhamento dos vértices opostos de um cubo é a manifestação em univs das infinitas identificações do universo real: uma tremenda economia!
O segundo UNIV mais simples, r(12,1,0), com 12 vértices induz o universo conhecido com espaço lente L(3,1). Note que o emparelhamento dos pares de vértices induzem uma hélice anti-horária.
O UNIV ao lado, r(14,1,0), induz a soma conexa de dois universos projetivos. Pela primeira vez o jogo de forças exercidas sobre as faces poligonais as encurvam. É curioso notar que, mesmo tendo o material flexivel para as faces e conhecendo este universo levei 10 anos (1979-1989) para tomar consciência de que era possível montá-lo.
O UNIV ao lado, r(16,1,0), induz o universo conhecido como o espaço lente L(5,2). Tem 16 vértices e o exterior igual à próxima gemcast r(16,2,0) que induz o espaço lente L(4,1).
O UNIV ao lado, r(16,2,0), induz o universo conhecido como o espaço lente L(4,1). Tem 16 vértices e o exterior igual à gemcast anterior, r(16,2,0), que induz o espaço lente L(5,2).
Este UNIV, r(18,1,0), induz o universo quaterniônico. Assim chamado porque o seu grupo fundamental é o grupo não comutativo dos quatérnions com 8 elementos. O universo é obtido a partir de um cubo sólido pela rotação de 90 graus horários de uma de cada par de faces opostas seguidas pela identificação das mesmas por translações.
O UNIV r(20,10,0) induz o 3-universo que é a soma conexa de três espaços projetivos. Uma das faces frontais se encurva violentamente!
O UNIV r(20,15,1) induz também o 3-universo que é a soma conexa de três espaços projetivos.
O UNIV r(24,2,0) induz o 3-universo Esfera de Poincaré, que ele descobriu em 1904. É um universo muito famoso e importante em matemática. Poincaré (1854-1912) criou a topologia e é um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Descobri este UNIV em 1989: ele foi o primeiro e é o superatrator da Esfera de Poincaré!
O CAST r(24,20,0) assume (espontaneamente) uma forma fálica. Ele induz a esfera 3-dimensional que é a fronteira de uma bola da quarta dimensão. Um aspecto importante inerente a este univ permanece como um problema aberto em Matemática. Isto foi tópico de uma tese de doutorado em Campinas (2003).
O UNIV r(26,22,0) induz o 3-universo que é a soma conexa de quatro espaços projetivos
O CAST ao lado é uma forma arquitetônica agradável ideal para domes, estruturalmente muito forte, que advém de um cast com 36 vértices.
O poliedro esburacado ao lado (univ[2,3]) é uma manifestação fiel de uma superfície de genus 3. Ele ajuda a entender como os univs acima induzem um universo 3-dimensional mergulhado num espaço de sete dimensões
Os menores UNIVs, todos juntos!
Um close da foto anterior.
Tudo que foi mostrado antes e, na minha mão, um novo modo de consrução em croché para os UNIVs.
Forma alternativa, em croché, do univ induzindo o universo espaço lente L(3,1). Puxando-se um fio que emana de um vértice podemos descobrir qual é o segundo vértice emparelhado com o primeiro, pois eles estão ligados, por uma linha, no interior do univ. Isto foi sugerido por minha filha Isis que também produziu o modelo em croché me presenteando no dia dos pais, Agosto de 2013.
CASTs em aço inox escovado para o 3D-universo projetivo e a soma conexa de dois deles.
Outra foto de CASTs em aço inox escovado para o 3D-universo projetivo e a soma conexa de dois deles.
Convite para a Exposição sobre UNIVs e CASTs com foto de Nara Viana num ângulo em que a interferência luminosa cria padrões belíssimos na imagem do cast de RP³ # RP³.
Outra foto de Nara Viana de CAST em aço escovado para o mesmo 3D-universo. As 14 fotos seguintes são também de Nara.
CAST
"Mesa Para Cinco"
com 30 vértices e simetria pentagonal,
CAST
"Universo Estranho"
com 48 vértices e também com simetria pentagonal
CAST
"Meteorito M75500"
com 60 vértices e completamente assimétrico
Outra vista de "M75500"
CAST
"Meteorito M75300"
com 60 vértices e completamente assimétrico
UNIV
"Poincaré's Homology Sphere Superattractor"
com 24 vértices.
É o proximo a ser manufaturado em aço escovado. Abaixo um "Elo Emoldurado" induzindo o mesmo 3D-universo.
UNIV
"Meteorito M75432"
com 60 vértices e completamente assimétrico. Este UNIV será eventualmente refeito em aço inox escovado em escala gigante, com lado maior que 280mm.
Outra vista de "M75432" . As etiquetas continuam poque serão necessárias na construção do modelo em aço.
CAST
"Turtlecrab"
com 74 vértices e completamente assimétrico. O CAST (ao virá-lo) lembra uma tartaruga mudando a passada ou um caranguejo, dependendo do ângulo que se olhe. Turtlecrab é a soma conexa aleatória de 12 3D-universos projetivos.
Outra vista de
"Turtlecrab", que de fato está virada (com a barriga para cima). A rigor este CAST prova que nem sempre é possível montar qulaquer CAST como uma bola topológica. Há duas singularidades em Turtlecrab. Para CASTs advindos de 3D-universos primos, até agora a minha conjectura é verdadeira: todos os CASTs de Universos primos mergulham confortavelmente como bolas topológicas em R³.
"Turtlecrab", em cima do UNIV em aço para o 3D-universo projetivo (arestas de 280mm). Os varões giram apoiando-se em rolamentos: isto informa o emparelhamento dos vértices e completa a transição CAST para UNIV. Ao fundo pode se ver um banner onde um censo topológico de BLINKs e projeção de ELOS EMOLDURADOS são mostrados. Este objetos matemáticos são apresentações alternativas de 3D-universos.
Rodada de explicações a atentos alunos do nível médio de uma escola pública de Goiana, Pernambuco.
Várias caravanas de alunos têm recebido estas explicações sobre conhecimentos básicos de Topologia, a "Matemática da Deformação Infinita sem Rasgar". Estamos incentivando a visita destas caravanas.
Momento
em que a
explicação
terminou
As (até agora) quatro peças em aço escovado com comprimentos das arestas fixados em 280mm: UNIV de RP³, CASTs de L(5,3), de RP³# RP³ e, ao fundo, de L(3,2)#L(2,1). Modelos muito maiores serão eventualmente construídos. Aguardem.
Dois novos CASTs em aço escovado foram adicionados à Exposição. Apareço entre os CASTS de L(5,3) e
de RP³# RP³, segurando o UNIV (azul) METEORITO
M-75432, que aguarda confecção em aço. Note a deformação violenta a que é submetido o polígono octagonal deL(3,2)#L(2,1). À frente, universos bidimensionais: superfícies da esfera e do toro.
Mais uma foto do CAST para RP³ # RP³.
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